Supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe, è possibile costruire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio? Sì, basta considerare ad esempio l’insieme delle scarpe destre. Se abbiamo, invece, un numero infinito di paia di calzini (supponendo che il destro e il sinistro non siano distinguibili), si può considerare, come prima, un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi? Qui iniziano a sorgere dei problemi: non possiamo più parlare dell’insieme dei “calzini destri” e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio. Che significa? Significa che non abbiamo “una funzione di scelta” che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Ma allora per poter dire che un tale insieme esiste bisogna invocare l’assioma della scelta.
L’assioma della scelta è comparso per la prima volta nel 1904, enunciato da Ernst Zermelo, uno dei fondatori della “Teoria assiomatica degli insiemi”. Tale branca della matematica è nata per giustificare e formalizzare in modo rigoroso l’esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le funzioni) e delle loro proprietà: e l’assioma della scelta ne rappresenta uno dei fondamenti.
Che cosa dice, allora, questo assioma? Al di là della sua definizione formale, semplicemente, afferma che ogni famiglia (infinita) di insiemi non vuoti ammette una “funzione di scelta”, cioè una funzione f che associa ad ogni insieme appartenente alla famiglia un suo elemento. Nonostante la sua validità sembri intuitivamente evidente, l’assioma della scelta può avere alcune conseguenze molto bizzarre e controintuitive e per questo è stato oggetto di lunghe discussioni a cavallo del Novecento e oltre. Nella matematica di oggi, è usato comunemente e riveste un ruolo essenziale.
Si può scegliere di non considerare l’assioma della scelta? Sì, creando una teoria matematica parallela, con risultati diversi da quelli che ci aspettiamo. Nel corso del ‘900 è stato dimostrato che esso risulta logicamente indipendente dagli altri assiomi su cui si fonda la matematica che conosciamo. Dunque appare evidente che l’accettazione o la non accettazione dell’assioma della scelta è un’opzione dei matematici dettata più da opinione personale che da esigenze di natura logica. C’è da dire però che la dimostrazioni di Teoremi fondamentali di tutti gli ambiti della matematica fanno uso di esso, o di alcune versioni a lui equivalenti. Il lemma di Zorn, per esempio, costituisce la versione dell’assioma della scelta più utilizzata in Analisi Matematica.
Alessandro La Farciola
