La successione di Fibonacci è, forse, la successione di numeri naturali più famosa della cultura matematica. Formalmente, la successione di Fibonacci Fn (dove il pedice n sta per l’n-esimo numero della successione) si definisce ricorsivamente
F0 = 1
F1 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2 se n ≥ 2
Informalmente, dopo aver posto i primi due termini pari a 1, gli altri si ottengono sommando i due termini precedenti:
1, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, 13, 21, 34, . . .
Come è nata tale successione? Nacque da un problema concreto. Nel 1223 a Pisa in occasione di un torneo tra matematici, a cui assistette perfino l’Imperatore Federico II di Svevia, venne proposto il seguente problema: «quante coppie di conigli si ottengono in un anno a partire da una sola coppia, supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che ogni coppia di conigli sia in grado di riprodursi a partire dal secondo mese di vita?». Leonardo Pisano, noto con il nome di Fibonacci, fu il più veloce a dare la risposta corretta. Come ha fatto? Semplice, ha usato proprio la successione di numeri che da quel momento ha preso il suo nome. Infatti dopo un mese ci sarà la sola coppia da cui si è partiti, mentre al secondo mese ci sarà anche la coppia da lei nata. E al terzo? Ci saranno le due precedenti più quella nata dalla coppia che ha almeno due mesi, ovvero solo la prima. Procedendo in questo modo per sapere quanti conigli ci sono al mese n basta sommare il numero dei conigli del mese n-1 al numero dei conigli del mese n-2, i quali hanno almeno 2 mesi di vita e generano ciascuno una nuova coppia. Si ottiene così che al mese n ci sono esattamente Fn conigli, dove Fn indica l’(n+1)-esimo (la successione parte da F0) numero della successione di Fibonacci. E allora qual è la risposta al problema proposto? Il numero cercato è quello delle coppie di conigli che si avranno dopo 12 mesi, ovvero il 13esimo numero di Fibonacci, cioè 223.
Leonardo Pisano fu un famoso matematico italiano (Pisa 1175 circa – 1240 cir- ca). Figlio di un commerciante pisano, visse fin da piccolo ad Algeri dove ebbe la possibilità di conoscere e studiare i principi dell’algebra da maestri arabi. Più tardi, grazie anche ai suoi viaggi, conobbe i più importanti matematici musul- mani dell’epoca e da qui nacque la sua opera più importante: il “Liber Abbaci” (Il libro dell’Abaco). E’ proprio in questo manuale di matematica che si introduceva per la prima volta nella cultura occidentale le regole di calcolo note al mondo arabo, a partire dalla numerazione decimale. Veniva introdotto, inoltre, il numero zero, sconosciuto alla cultura dei Greci e dei Romani. E’ a partire da tale bagaglio culturale, specialmente in ambito algebrico, che rese noto Leo- nardo Fibonacci in tutto il mondo, in cui venivano elogiate le sue qualità nei calcoli e la sua maestria nel giocare con i numeri. Sono proprio queste le qualità che hanno permesso al Fibonacci di trionfare nell’agone matematico del 1223 sviluppando quella serie di numeri che ancora oggi desta grande fascino. La successione di Fibonacci, infatti, ricorre in molti ambiti scientifici e non: dalla chimica alla musica, dall’arte all’economia.
Una delle proprietà più note della serie è il suo stretto legame con la sezione aurea, o cosiddetta “proporzione divina”, tanto amata dal mondo greco. Infatti se consideriamo il rapporto ovvero il rapporto tra un numero della successione e il suo precedente e aumentiamo n fino all’infinito otteniamo proprio la sezione aurea. Infatti:
Coincidenze? No, è solo la bellezza della matematica!
Alessandro La Farciola